Lec 1：数理逻辑¶

命题逻辑¶

命题(proposition)：对 确定的对象 做出 判断 的 陈述句

悖论（自相矛盾）不能作为命题

如果这个判断是正确的，称命题为真（ true ），否则为假（ false ）。
真、假是命题的属性，称为真值。

排中律 （Law of Excluded Middle）¶

是非之间必居其一。任一事物在同一时间里具有某属性或者不具有某种属性，而没有其他可能

因此，命题非真即假。不能兼而有之，也不能不真不假 （→ 这是一个基本假设）

反证法利用了排中律
典例：素数有无穷多个

原子命题 和 复合命题¶

• 逻辑连接词（logical connectives）：连接命题，对真值进行运算的词
  • e.g. 不，或者，而且，如果……那么，当且仅当
• 原子命题（atom proposition）：不包含逻辑连接词的命题
• 复合命题（compound proposition）：包含了原子命题和逻辑连接词的命题

“2是素数且3也是素数” -- 由两个命题和一个连接词“而且”连接而成 连接词将两个命题组合成为一个新的命题，并产生了新的真值

形式化¶

符号体系

Step 1：抽象（abstraction）

• 仅关注命题的本质属性：真值
• 仅关注逻辑联结词的本质属性：对真值的运算

Step 2：符号化（symbolization）

• 把命题和逻辑联结词变成 符号 ，以规则相连接
• 真命题用 T 表示，假命题用 F 表示
• 原子命题一般用 \(p\), \(q\) 或 \(p_1\), \(q_1\) 等表示
• 逻辑联结词用特殊符号来表示：
  • 非（not）：\(\lnot\) ¹
  • 且（and）：\(\land\) ²
  • 或（or）：\(\lor\) ³
  • 如果...那么...（if...then...）：\(\rightarrow\) ⁴
  • 当且仅当（if and only if）：\(\leftrightarrow\) ⁵

符号的定义

• 命题的真值为真（true）用 1 表示，为假（false）用 0 表示。
• 逻辑联结词用 真值表 来定义。真值表列出了原子命题的真值组合以及经过联结词作用后的真值。

逻辑联结词¶

• 否定词（negation）：非（not）¬

  ¬ p ：p 不成立

  p	¬p
  0	1
  1	0

• 合取词（conjunction）：且（and）∧

  p ∧ q ：p 和 q 同时成立

  p	q	p ∧ q
  0	0	0
  0	1	0
  1	0	0
  1	1	1

• 析取词（disjunction）：或（or）∨

  p ∨ q ：p 和 q 至少一个成立

  p	q	p ∨ q
  0	0	0
  0	1	1
  1	0	1
  1	1	1

  可以同时为真

• 蕴涵词（implication）：如果...那么...（if...then...）→

  p → q ： p 是 q 的充分条件 / q 是 p 的必要条件

  p	q	p → q
  0	0	1
  0	1	1
  1	0	0
  1	1	1

  与 (¬p) ∧ q 的真值表相同

  • p ：蕴涵前件
  • q ：蕴涵后件

• 双向蕴涵词（two-way implication）：当且仅当（if and only if）↔

  p ↔ q ：p 和 q 互为充要条件

  p	q	p ↔ q
  0	0	1
  0	1	0
  1	0	0
  1	1	1

命题公式¶

• 命题常元（proposition constants）

  表示具体命题和常命题的 p, q, r, s等。

• 命题变元（proposition varibles）

  以“真” “假”为取值范围的变量，也用 p, q, r, s 等表示（但未指明其具体的命题，类似于声明而未初始化的变量）。

• 命题公式（proposition formula）

  由命题常元、变元和联结词组成的形式更为复杂的命题。采用大写字母 A, B, C 等表示。

  命题公式一种定义方法：归纳定义

  1. 命题常元和命题变元是命题公式，称作原子公式。
  2. 如果 A, B 是命题公式，那么 (¬ A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) 也是命题公式。
  3. 只有有限步引用上述两条所组成的符号串才是命题公式。

简化约定

• 公式最外层的括号一律可以省略；
• 约定逻辑联结词的优先级，进一步减少括号。
  • 目前学到的联结词（ ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ ）中，优先级为：(自上而下--由高到低)
    1. ¬
    2. ∧ , ∨
    3. →
    4. ↔
  • 除非有括号，否则按照优先级从高到低，从左到右的次序结合。

    e.g. p → q ∧ r → s 等同于 ((p → (q ∧ r)) → s)

真值函数（truth-value function）

• 将逻辑联结词看作逻辑运算符，那么包含命题变元 \(p_1, p_2, ..., p_n\) 的公式 A 可以看做关于 \(p_1, p_2, ..., p_n\) 的真值函数。
• 每个变元的取值范围为 \(\{0, 1\}\)
• 真值函数值的取值范围为 \(\{0, 1\}\)

赋值（assignment）

指派 / 赋值：对任意给定的 \(p_1, p_2, ..., p_n\) 的一种取值状况组合

赋值用希腊字母 α, β 等表示。对于每个赋值（每一种给定的组合状况），公式 A 均有一个确定的真值。

命题公式

• 形式上：一个规则的字符串

• 内容上：对应一个真值函数

  真值表（truth table） 对于所有可能的赋值，公式 A 的真值可以用真值表来确定。